Senin, 03 Desember 2018

Makalah Persamaan Linear

 




PENGGUNAAN SISTEM PERSAMAN LINEAR      DUA VARIABEL (SPLDV)
DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI





MAKALAH MATEMATIKA




Diajukan Untuk Memenuhi Persyaratan Kenaikan Pangkat





Disusun Oleh
Ir.AMIR SUGIARTO
NIP. 196510062008011002





SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 3 DUMAI
TAHUN 2017





PEMERINTAH KOTA DUMAI
DINAS PENDIDIKAN
SMA NEGERI 3 DUMAI
Jl. Arif Rahman Hakim Bukit Nenas Kec. Bukit Kapur Dumai
Telp. 082883700313 Kode Pos 28882 NPSN 10405038








 
SURAT KETERANGAN
Nomor :..............................................


Yang bertanda tangan dibawah ini. Pengelola Perpustakaan SMA Negeri 3 Dumai :
Nama                            :    SITI MARIANA SOSA,SPd
Jabatan                          :    Kepala Perpustakaan SMA Negeri 3 Dumai
Unit Kerja                     :    SMA Negeri 3 Dumai

Dengan ini menerangkan bahwa laporan karya ilmiah yang berjudul Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari yang ditulis oleh:
Nama                            :    Ir.Amir Sugiarto
Nip                                :    196510062008011002
Pangkat/Gol.Ruang      :    Penata Muda TK I / III b
Jabatan                          :    Guru Bidang Study Matematika
Unit Kerja                     :    SMA Negeri 3 Dumai

Benar Laporan Karya Ilmiah tersebut telah disimpan di perpustakaan SMA Negeri 3 Dumai.
Demikian surat keterangan ini dibuat untuk dapat dipergunakan sebagaimana mestinya.





                                                                                                           
              Mengetahui                                                                            Dumai,  Desember 2017
              Kepala Sekolah                                                                      Pengelola Perpustakaan


              WISMAN, SPd                                                                    SITI MARIANA SOSA, SPd
              NIP 19620612199103 1 012                                                  NIP 19800217200502 2 003







IDENTITAS GURU






                   Nama                                           :    Ir. Amir Sugiarto
                   NIP / Nomor Seri Karpek           :    19651006200801 1 002 / N 573703
                   Tempat , Tanggal Lahir               :    Bengkalis, 6 Oktober 1965
                   Jenis Kelamin                              :    Laki – Laki
                   Pangkat/Gol Ruang/TMT            :    Penata Muda TK I/IIIb/01 Oktober 2012
                   Jabatan Guru / TMT                    :    Guru Muda / 01 Oktober 2008
                   Jenis Guru                                   :    Guru Mata Pelajaran Bidang Study Matematika
                   Tempat Tugas                              :    SMA Negeri 3 Dumai
                   Alamat Sekolah                           :    Jl.Arif Rahman Hakim Bukit Nenas Kec Bukit Kapur, Dumai


                   Alamat Rumah                            :    Jl.Jeruk No 42 Rimba Sekampung Kec Dumai Kota, Dumai
         

         












LEMBAR PENGESAHAN








          Nama Makalah                     :    Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)  Dalam Kehidupan Sehari – hari

          Nama Penulis                        :    Ir.Amir Sugiarto
          Nip                                         :    19651006200801 1 002
          Unit Kerja                             :    SMA Negeri 3 Dumai




                                                                                                        Disahkan Oleh
                                                                                                        Kepala Sekolah

                                                                                                        WISMAN,SPd
                                                                                                        Nip 19620612199103 1 012













LAPORAN PERNYATAAN





Dibawa ini saya menyatakan bahwa :
              Nama                        :    Ir.Amir Sugiarto
              Nip                           :    19651006200801 1 002
              Unit Kerja                :    SMA Negeri 3 Dumai
              Nama Publikasi        :    Makalah Pendidikan
              Judul Makalah          :    Pengunaan Sistem Persaman Linear Dua Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari




Makalah ini “Benar – Benar Asli Hasil Karya Saya” yang saya buat untuk kelancaran proses pembelajaran dan bermanfaat bagi pembaca







                                                                               Dumai,    Desember 2017
                                                                                                             Pembuat Pernyataan,



                                                                                                             Ir.Amir Sugiarto
                                                                                                             NIP 19651006200801 1 002





KATA PENGANTAR







Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan hidayahnya jua maka makalah ini dapat kami selesaikan dengan judul Pengunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari Pada makalah ini kami banyak mengambil dari berbagai sumber dan refrensi dan pengarahan dari berbagai pihak .oleh sebab itu, dalam kesempatan ini kami mengucapkan terima kasih sebesar-sebesarnya kepada semua pihak yang telah banyak  membantu dalam penyusunan makalah ini.
Penyusunan menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini sangat jauh dari sempurna, untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun guna kesempurnaan laporan ini.
Akhir kata penyusun mengucapkan terima kasih dan semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk semua pihak yang membaca…
           








                                                                                                        Dumai,   Desember  2017


                                                                                                                  Penyusun





i



DAFTAR ISI



KATA PENGANTAR   ................................................................................................      i
DAFTAR ISI   ...............................................................................................................      ii
BAB      I   PENDAHULUAN  
              1.  Latar Belakang   ..........................................................................................     1
              2.  Rumusan Masalah   .....................................................................................      1
              3.  Tujuan Penulisan   .......................................................................................      1
BAB      II  TINJAUAN PUSTAKA
              1   Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel .............................      2
              2.  Metode – metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
                   Dua Variabel (SPLDV) .............................................................................       2
                   2.1    Metode Grafik   .................................................................................      2
                   2.2    Metode Substitusi   ............................................................................     3
                   1.4    Metode Eliminasi   .............................................................................     4
                   2.4    Metode Gabungan Eliminasi  dan Substitusi .....................................     5
BAB               III        HASIL DAN PEMBAHASAN
              1.  Penggunaann  Sistem  Persamaan  Linear  Dua  Variabel  (SPLDV)
                   dalam Kehidupan Sehari – hari .
                   1.1.   Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Substitusi ..............           7
                   1.2.   Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Eliminasi ..............            10
                   1.3.   Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Gabungan
                            Eliminasi dan Substitusi ..................................................................        13         
BAB           IV   KESIMPULAN DAN SARAN
              1.  Kesimpulan   ...............................................................................................      17
              2.  Saran   ..........................................................................................................       17
DAFTAR PUSTAKA   .................................................................................................      18






ii


BAB I
PENDAHULUAN



1.        Latar Belakang
       Banyak Permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan secara matematis. Caranya adalah dengan menterjemahkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika, kemudian menyelesaikannya. Misalnya untuk menentukan panjang penampang bagian atap sebuah bangunan  yang dibuat dengan ukuran tertentu dan dengan syarat tertentu. Dengan memisalkan ukuran panjang alas sebagai variabel. Model persamaan linear dua variabel dapat dibuat untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
       Matematika merupakan pelajaran yang menantang kreatifitas untuk berpikir, menalar dan menganalisa, jika kita jeli, permasalahan yang berada disekitar kitapun dapat dianalisa dan di ubah menjadi sebuah model matematika dengan variasi variabel bebas dan variabel terikat yang dapat kita tentukan.
       Di SMA, disamping pokok bahasan matriks, integral, peluang, statistik, barisan dan deret bilangan, limit  dan lainnya, maka sistem persamaan linear juga termasuk materi pokok yang harus kita kuasai. Banyak cara dan model yang kita gunakan dalam menyelesaikan variabel yang ada pada sistem persamaan linear. dari keseluruh model yang ada kita di tuntut untuk memilih dan menentukan mana model atau cara yang paling mudah dan praktis dalam menyelesaikan setiap soal-soal ataupun permasalahan yang kita hadapi.
      
      
2.        Rumusan Masalah
       1.    Menjelaskan tentang pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
       2.    Menjelaskan Metode yang dapat digunakan untuk Menyelesaikan Sistem Persaman Linear Dua Variabel (SPLDV)
       3.    Menjelaskan Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam Kehidupan Sehari – hari beserta contoh..

3          Tujuan Penulisan
      Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) beserta contoh- contoh penyelesaian masalah  yang berkaitan dalam kehidupan sehari-hari..

1


BAB II
TINJAUAN PUSTAKA



1.        Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Sistem persamaan linear didefinisikan sebagai himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan koefisien-koefisien  persamaan adalah bilangan real. Menurut Marthen Kanginan , (2007), menyatakan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah persamaan yang mengandung dua variabel pangkat satu (x dan y) dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel tersebut (tidak mengandung suku xy). Sistem persamaan linear dua variabel biasanya terdiri atas dua persaman linear yang masing-masing mempunyai dua variabel.
       Menurut Muklis, Nur Aksin dan Suparno, (2014) : Persamaan linear adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu. Gabungan dua atau lebih persamaan linear yang saling terkait disebut sistem persaman linear. Sistem persaman linear yang melibatkan dua variabel yang berbeda dinamakan sistem persaman linear dua variabel (SPLDV). Secara geometri sistem persamaan linear dua variabel merupakan hubungan antara dua garis lurus , letak dua garis lurus pada bidang ada tiga kemungkinan yaitu berpotongan, sejajar dan berimpit. Untuk menggambar grafik persamaan linear dua variabel biasanya dicari titik potong dengan sumbu x dan sumbu y, kemudian melalui kedua titik potong tersebut dibuat suatu garis yang merupakan himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut.
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :
       a1x  +  b1y = c1 ........................... (1)
       a2x  +  b2y = c2 ........................... (2)
            x dan y dinamakan variabel,
            a1, a2, b1 dan b2 dinamakan koefisien sedangkan
            c1 dan c2 dinamakan konstanta

2.    Metode – metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
       Ada 4 metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) yaitu :

       2.1. Metode Grafik
              Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linear penyusunnya. Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua buah garis lurus. Jika kedua garis berpotongan, berarti sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian, jika kedua garis sejajar, berarti sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian dan jika kedua garis berimpit, berarti sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga.


2



Contoh 1
              Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut :
              2x  +   y   =   8
              7x  -  2y   =   6
              Untuk menggambar garis dari kedua persamaan cukup menentukan dua titik pada setiap persamaan, misalnya titik potong garis dengan sumbu x dan sumbu y.
              Untuk garis  2x  +   y  =  8
x
4
0
y
0
8

              Garis 2x + y  = 8  memotong dengan sumbu x di titik ( 4 , 0 )  dan sumbu y di titik ( 0 , 8 )
              Untuk garis  7x  -  2y  =  6 
x
0
2
y
-3
4
             
              Garis 7x  -  2y  =  6  memotong dengan sumbu x di titik ( 0 , -3 )  dan sumbu y di titik ( 2 , 4 )
              Dari keempat titik potong kita gambarkan grafik sebagai berikut
                                             y
                                      11                       7x  -  2y  =  6

                                        8

                                        4             ( 2 , 4 )

                                     
                                        0         2       4                            x
                                       -3                       2x  +  y  =  8
                                       
              Dari grafik terlihat garis 7x  -  2y  =  6  dan  2x  +  y  =  8 berpotongan di titik (2 , 4). Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah  (2 , 4).


       2.2  Metode Substitusi
              Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari SPLDV tersebut. Selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.
Langkah – langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah :
       a.     Salah satu persamaan dinyatakan menjadi y =  ax  +  b  atau  x  =  cy  + d
       b.    Substitusikan y  atau  x  (dari langkah 1) ke persamaan lain.


3


       c.     Selesaikan persamaan tersebut hingga diperoleh nilai x  atau  y.
       d.    Substitusikan nilai  x  yang diperoleh sehingga diperoleh nilai  y  atau sebaliknya.
       e.     Nyatakan himpunan penyelesaiannnya dari  nilai x dan nilai y telah diketahui..

Contoh 1
              Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut :
              2x  +   y   =   8
              7x  -  2y   =   6
              Dari kedua persamaan tersebut kita ambil salah satu yaitu :
              2x  +   y   =   8
                          y   =  -2x  +  8
              Substitusikan  y  =  -2x  +  8 ke dalam  7x  -  2y   =   6 sehingga kita peroleh persamaan
              7x  -  2 (-2x  +  8)  =  6
              7x  +  4x  -  16  =  6
              7x  +  4x  =  6  +  16 
                       11x  =  22
                           x  =    
                     x  =   2
              Substitusikan x  =  2 kedalam persamaan 2x  +   y   =   8 .
              2x  +   y   =   8
              2(2)  +  y  =  8
                  4  +  y  =  8
                          y  =  8  -  4
                          y  =  4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ( 2  ,  4 )

       2.3  Metode Eliminasi
              Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasi/dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam sistem persamaan linear dua variabel tersebut.Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel x atau y yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan sehingga dperoleh  nilai x atau y.

Contoh 1
              Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut :
              2x  +   y   =   8
              7x  -  2y   =   6
Dengan metode eliminasi ini kita upayakan untuk menyamakan koefisien variabel x dan y, sebagai berikut:


4



              Eliminasi y dari SPLDV
              2x  +   y   =   8    x 2    4x  +   2y  =  16
              7x  -  2y   =   6    x 1    7x  -    2y  =   6    +
                                                 11x             =  22
                                                    x            =  
                                          x            =    2

              Eliminasi x dari SPLDV
              2x  +   y   =   8    x 7    14x  +   7y  =  56
              7x  -  2y   =   6    x 2    14x  -    4y  =  12    -
                                                               11y =  44
                                                    y            =  
                                          y            =    4
Jadi himpunan penyelesaiannya ( 2 , 4)


       2.3  Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi.
              Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi, selanjutnya nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel lainnya.
Contoh 1
              Diketahui sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut :
              2x  +   y   =   8 ......................................  (1)
              7x  -  2y   =   6 ......................................  (2)
Dari persamaan tersebut kita bisa memilih salah satu dari variabel x atau y yang akan kita eliminasi Misalnya kita akan mengeliminasi variabel y, maka akan kita peroleh persamaan sebagai berikut :
              Eliminasi y dari SPLDV
              2x  +   y   =   8    x 2    4x  +   2y  =  16
              7x  -  2y   =   6    x 1    7x  -    2y  =   6    +
                                                 11x             =  22
                                                    x            =  
                                          x            =    2


5




Setelah kita peroleh nilai variabel x, maka nilai variabel ini selanjutnya kita substitusikan kesalah satu  persamaan (1)
              2x   +   y   =   8   
              2 (2)  +  y  =  8
              4        +  y  =  8
                            y  =  8  -  4
                            y  =  4

atau kita substitusikan kepersamaan (2)
              7x  -  2y   =   6   
              7 (2)  -  2y  =  6
              14      -  2y  =  6
                         -  2y  =  6  -  14
                         -  2y  =  -8
                       y  =  4
Maka himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah ( 2 , 4 )























6




BAB III
PEMBAHASAN



1.    Penggunaann  Sistem  Persamaan  Linear  Dua  Variabel  (SPLDV) dalam Kehidupan Sehari – hari .

       Dari ke empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Menurut Marthen Kanginan, (2007 ; 162) mengatakan bahwa metode grafik kadang-kadang hanya memberikan penyelesaian yang berupa taksiran  bukan penyelesaian yang bersifat eksak yang artinya himpunan penyelesaiannya bisa mempunyai satu penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian.
       Dalam Makalah ini pembahasan lebih ditekankan pada penggunaan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi dan gabungan eliminasi dan substitusi.

1.1.      Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Substitusi.
                   Pada umumnya berbelanja adalah rutinitas yang sering kita lakukan, baik itu membeli peralatan elektronik, membeli pakaian, membeli bahan-bahan untuk kebutuhan sehari-hari dan juga membeli bahan-bahan baku untuk diolah menjadi bahan jadi yang siap untuk dipasarkan. Berikut adalah contoh kegiatan sehari-hari yang dapat kita selesaikan dengan menerapkan penggunaan materi pelajaran sistem persaman linear dua variabel.

Contoh 1 :
              Ani, Ari dan Fitri berbelanja di sebuah toko  yang menjual bermacam-macam buah – buahan segar. Ani membeli 2 kg jeruk dan 4 kg apel dengan harga Rp 100.000, Ari membeli 5 kg jeruk dan 1 kg apel dengan harga Rp 70.000, Jika Fitri membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel . Berapa rupiah yang harus dibayar Fitri.

Pembahasan.
       Permasalahan diatas adalah kejadian yang sering kita alami, Transaksi jual beli yang bisa saja terjadi dimana saja baik itu di toko, di pasar ,supermarket dll
       Untuk menyelesaikannya, permasalahan tersebut terlebih dahulu kita terjemahkan kedalam kalimat matematika (model matematika), kemudian kita selesaikan dengan menggunakan SPLDV dengan metode Substitusi.

Model matematika .
       Misal  harga 1 kg jeruk = x
                  harga 1 kg apel  = y

7



akan kita peroleh bentuk persamaan sebagai berikut :
       2x  +  4y  =  100.000 .........................(1)
       5x  +   y   =   70.000  .........................(2)
Dari kedua bentuk persamaan, kita ambil persamaan 2 yaitu
5x  +  y  =  70.000
          y =   - 5x   +  70.000
Substitusikan persamaan y = -5x  +  70.000 ke dalam persamaan 2x  +  4y  =  100.000   sehingga kita peroleh persamaan :
2x  +  4y  =  100.000  
2x  +  4( -5x  +  70.000 )  =  100.000   
2x  - 20x  +  280.000  = 100.000
2x  - 20x  =  100.000 -280.000
      -18 x  =  - 180.000
            x =   
          x  =  10.000
substitusikan x = 10.000 ke persamaan
            y = -5x +  70.000
            y = -5 (10.000) + 70.000
            y = -50.000  +  70.000
            y = 20.000.
Dari perhitungan diatas kita peroleh harga masing-masing buah yaitu :
1 kg jeruk harganya Rp 10.000
1 kg apel  harganya  Rp 20.000
Jika Fitri membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel jumlah uang yang harus di bayar adalah
          3x  +  4y  = .............
          3 (10.000)  + 4 (20.000) =
               30.000   +   80.000  = 110.000
Jumlah uang yang harus dibayar Fitri jika ia membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel adalah Rp 110.000.

Contoh 2 :
              di toko “Dorina” yang banyak menjual bermacam-macam kue Wati membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp 17.000. Di tempat yang sama Tari membeli 2 donat dan 4 coklat dengan harga Rp 16.000. Jika Andi membeli sebuah donat dan sebuah coklat kemudian menuju kekasir dan membayar Rp 10..000. Jumlah uang pengembalian yang diterima andi adalah...

Pembahasan.
Model matematika .
       Misal  harga donat  = x
                  harga coklat  = y

8



                   4 x   +   2 y     =    17.000  .................. (1)
       `           2 x   +   4 y     =   16.000  disederhanakan menjadi
                      x   +   2 y     =    8.000    .................. (2)
                                   x     =    -2 y   +   8.000 
                                   
                            4 x   +   2 y   =   17.000     
                            4 (- 2 y   +   8.000)    +   2 y   =   17.000 
                            - 8 y   +   32.000   +   2 y    =   17.000
                            - 8 y   +   2 y    =   17.000  -   32.000  
                            - 6 y   =   - 15.000
                                 y   =   
                          y   = 2.500

                            4 x   +   2 y     =    17.000 
                            4 x   +    2 (2.500)    =   17.000
                            4 x   +    5.000    =   17.000
                            4 x   =   17.000  -    5.000   
                            4 x   =   12.000 
                                x   =      
                                x  =   3.000.
Dari hasil perhitungan diperoleh harga sebuah donat Rp 3.000,   dan harga sebuah coklat  Rp 2.500. Jika Andi membeli sebuah donat dan sebuah coklat dengan memberikan uang Rp 10.000.
                            10.000  -  (2.500  +  3.000)
                            10.000  -   5.500  =  4.500
maka uang pengembalian yang akan diterima Andi adalah Rp 4.500.

Contoh 3 :
              Harga 3 buah buku dan 2 penggaris  Rp 9.000, Jika harga sebuah buku  Rp 500 lebih mahal dari harga sebuah penggaris. Harga sebuah buku dan 3 buah penggaris adalah..

Pembahasan.
Model matematika .
       Misal  harga buku  = x
                  harga penggaris  = y
Harga 3 buah buku dan 2 penggaris  Rp 9.000.
                   3 x   +   2 y   =   9.000 ............ (1)
Jika harga sebuah buku  Rp 500 lebih mahal dari harga sebuah penggaris
                       x   =   500  +  y  ............ (2)


9


Dari kedua persamaan tersebut kita substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) .
                   3 x   +   2 y   =   9.000
                   3 (500  +   y)   +   2 y   =   9.000
                   1.500   +   3 y   +  2 y  =   9.000
                   3 y   +   2 y   =   9.000 -  1.5000
                   5 y   =   7.500
                     y   =   1.500
Kita peroleh nilai y yang mewakili harga penggaris sebesar Rp 1.5000
Substitusikan nilai x ke dalam persamaan  x   =   500  +  y   
                   x   =   500  +  1.5000  
                   x   =   2.000
Kita peroleh harga x  yang mewakili harga buku sebesar Rp 2.000
maka harga sebuah buku dan 3 buah penggaris ..
                   x   +   3 y   =  ....
                   2.000   +   3 ( 1.500) 
                   2.000   +   4.500
                   6.500


1.2.      Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Eliminasi.
                   Transaksi jual beli yang terjadi biasanya selalu melibatkan dua objeks yaitu pembeli yang disebut sebagai konsumen  dan penjual yang disebut produsen,  untuk mengetahui arus perputaran barang dagangan, maka seorang pedagang / penjual sangat perlu mengetahui bahkan mencatat berapa jumlah barang dagangannya yang telah terjual  dan berapa jumlah uang yang telah diterima dari seluruh barang yang telah terjual. Dari catatan inilah pedagang tersebut dapat menentukan apakah kegiatan jual beli yang dilakukan memberikan keuntungan atau sebaliknya. Berikut ini adalah catatan seorang pedagang dari kegiatannya menjual buah-buahan serta beberapa contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan SPLDV dengan menggunakan metode Eliminasi.

Contoh 1.
              Selama seminggu seorang pedagang buah-buahan mampu menjual semangka dan pepaya secara bersamaan sebanyak 275 kg. Harga semangka Rp 4.000 per kilogram, sedangkan harga   pepaya          Rp  5.000  per  kilogram. Jika hasil penjualan buah semangka dan buah pepaya tersebut selama seminggu adalah Rp 1.230.000. Banyaknya semangka dan pepaya yang terjual dalam minggu itu adalah ...

Pembahasan.
Model matematika .
       Misal  x = banyaknya semangka
                  y = banyaknya pepaya

10

Jumlah semangka dan pepaya yang terjual selama seminggu adalah 275 kg. maka persamaan dapat kita susun menjadi :
       x   +   y   =   275 ...................... ( 1 )
Hasil penjualan semangka dan pepaya selama seminggu adalah Rp 1.230.000,  
       4.000 x   +   5.000 y   =   1.230.000. ...................... ( 2 )
Untuk menyederhanakan bilangan pada hasil penjualan semangka dan pepaya, maka seluruh koefisien pada persamaan 2  kita bagi dengan 1.000, sehingga bentuk sederhana dari persamaan 2 menjadi :
       4 x   +   5 y   =   1.230
Dari kedua persamaan yaitu persamaan 1 dan persamaan 2 yang telah disederhanakan, kita eliminasi dengan cara menyamakan kedua nilai koefisien variabel
Eliminasi y.

          x   +      y   =      275     x 5    5 x   +   5 y   =   1375
       4 x   +   5 y   =   1.230     x 1    4 x   +   5 y   =   1230   -
                                                           x                 =      145 
Eliminasi x.
          x   +      y   =      275     x 4    4 x   +   4 y   =   1100
       4 x   +   5 y   =   1.230     x 1    4 x   +   5 y   =   1230   -
                                                                      -  y   =    - 130
                                                                         y   =     130 
Jadi banyaknya semangka yang terjual selama seminggu adalah 145 kg  dan  banyaknya pepaya yang terjual 130 kg.
Contoh 2.
              Sebuah toko kue mempunyai dua orang pekerja. Pekerja pertama sedikitnya dapat membungkus 50 kue perjam dan pekerja kedua dapat membungkus 60 kue perjam. Jika pada suatu hari kedua pekerja bekerja selama 8 jam dan kue yang dapat di bungkus sebanyak 435 buah.Berapa jumlah kue yang dapat dibungkus oleh pekerja pertama dan pekerja kedua

Pembahasan.
Model matematika .
       Misal  x = jam kerja pekerja pertama
                  y = jam kerja pekerja kedua

       Jumlah jam kerja pekerja pertama dan pekerja kedua   =  8 jam, maka
       x   +   y   =   8
       Jumlah kue yang dapat dibungkus =  435 buah, maka
       50 x   +   60 y   =   435.

11



       Dengan demikian diperoleh SPLDV
                        x   +    y   =   8  ................ (1)
                   50 x   +   60 y   =   435 ..........(2)
       Eliminasi x dari persamaan (1)  dan  (2)
                        x   +    y   =   8             x  50        50 x   +   50 y   =   400
                   50 x   +   60 y   =   435     x    1        50 x   +   60 y   =   435 -
                                                                                        -   10 y   =   - 35
                                                                                                 y   =     3,5

       Eliminasi  y  dari persamaan (1)  dan  (2)
                        x   +       y   =   8          x  60        60 x   +   60 y   =   480
                   50 x   +   60 y   =   435     x    1        50 x   +   60 y   =   435 -
                                                                                            10 x   =     45
                                                                                                 x   =     4,5
Dari hasil penyelesaian diperoleh x = 4,5    dan  y = 3,5 .
Pekerja Pertama bekerja selama 4,5 jam . Jadi kue yang dapat di bungkus oleh pekerja pertama adalah
                   4,5 jam  x  50 bungkus = 225 bungkus
Pekerja Kedua  bekerja selama 3,5 jam . Jadi kue yang dapat di bungkus oleh pekerja Kedua adalah
                   3,5 jam  x  60 bungkus = 210 bungkus

Contoh 3
              Budi adalah seorang  pelajar disalah satu sekolah yang berada di kota Dumai. Ia duduk di kelas X Sos  yang terdiri atas 40 orang siswa. Pada suatu hari wali kelas Budi ingin mengetahui jumlah seluruh siswa berdasarkan jenis kelamin. Jika dalam kelas tersebut, dua kali banyak siswa laki-laki sama dengan banyak siswa perempuan di tambah 14. Berapa jumlah siswa laki-laki dan jumlah siswa perempuan di lokal Budi...

Pembahasan
Model matematika dari permasalahan diatas :
       misalkan   x = banyak siswa laki-laki
                        y = banyak siswa perempuan
Jumlah siswa di lokal = 40 orang,maka
       x   +   y   =   40 .................. (1)
dua kali banyak siswa laki-laki sama dengan banyak siswa perempuan di tambah 14, maka
       2 x  =  y   +  14   atau 
       2 x  -  y   =  14 .................. (2)
       Eliminasi x dari persamaan (1)  dan  (2)
                        x   +    y   =   40           x  2        2 x   +   2 y   =   80
                     2 x   -     y   =    14          x  1        2 x   -     y    =     14     -
                                                                                         3 y   =   66
                                                                                             y   =   22
12


       Eliminasi y dari persamaan (1)  dan  (2)
                        x   +    y   =   40         
                     2 x   -     y   =    14      +
                       3 x            =    54        
                                    x   =       
                                    x   =   18

Dari hasil penyelesaian diperoleh jumlah siswa laki – laki adalah 18 orang dan jumlah siswa perempuan 22 orang
                                                                                            

1.3.      Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
                   Dari keseluruhan metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) , metode gabungan merupakan metode yang paling banyak digunakan, banyak masalah yang dapat di selesaikan dengan menggunakan metode ini, baik itu kegiatan saat berbelanja, saat kita mengunjungi objek wisata, menghitung besarnya pendapatan, menaksir usia dan banyak permasalahan lain dalam kehidupan sehari-hari yang juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini.
                   Berikut ini adalah beberapa contoh permasalahan yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 1
              Harga tiket masuk sebuah waterboom Rp 30.000 untuk orang dewasa dan Rp 20.000 untuk      anak – anak. Pada suatu hari diperoleh hasil penjualan tiket Rp 640.000. Jika jumlah tiket yang terjual  27 lembar. Banyak pengunjung dewasa dan anak-anak pada hari itu adalah...

Pembahasan
Model matematika dari permasalahan diatas :
       misalkan   x = banyak tiket dewasa yang terjual
                        y = banyak tiket anak-anakyang terjual

       hasil penjualan tiket = Rp 640.000 maka
                        30.000 x   +   20.000 y   =   640.000 . untuk menyederhanakannya maka seluruh koefisien dibagi dengan 10.000 sehingga persamaan menjadi
                        3 x   +   2 y   =   64 .................. (1)
       Jumlah tiket yang terjual 27 lembar, maka
                            x  +      y   =   27 .................. (2)



13



Eliminasi y
                                    3 x   +   2 y   =   64   x 1    3 x   +   2 y   =   64
                                        x  +      y   =   27   x 2    2 x   +   2 y   =   54
                                                                                 x                 =   10
Substitusikan  x = 10  ke dalam persamaan 2
                        x   +   y   =   27   
                        10  +  y   =  27
                                 y    =   27   -   10
                                 y   =   17
Jadi pada hari itu banyaknya pengunjung dewasa adalah 10 orang dan banyaknya pengunjung anak-anak 17 orang.

Contoh 2
              Pak Budi adalah seorang pengusaha perhotelan yang menyediakan dua tipe kamar yaitu tipe standar dan tipe superior. tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 5 kamar tipe superior adalah      Rp 2.500.000 per hari. tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 2 kamar tipe superior adalah           Rp 1.300.000  per hari. Pada suatu hari  serombongan turis berkunjung ke hotel pak budi dan memesan 4 kamar yaitu 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe superior. Berapa tarif sewa yang harus dibayar oleh turis tersebut jika mereka menginap selama 3 hari.

Pembahasan
Model matematika dari permasalahan diatas :
       misalkan   x = tarif sewa satu kamar tipe standar
                        y = tarif sewa satu kamar tipe superior
tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 5 kamar tipe superior adalah   Rp 2.500.000  per hari, maka
                   2 x   +   5 x   =   2.500.000
tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 2 kamar tipe superior adalah  Rp 1.300.000  per hari,  maka
                   2 x   +   2 y   =   1.300.000
Dengan demikian diperoleh persamaan
                   2 x   +   5 x   =   2.500.000 ................... ( 1 )
                   2 x   +   2 y   =   1.300.000 ................... ( 2 )

Eliminasi x dari persamaan ( 1 )  dan ( 2 )
       2 x   +   5 x   =   2.500.000
       2 x   +   2 y   =   1.300.000   -
                   3 y    =   1.200.000
                      y    =     
                     y    =      400.000


14



Substitusikan y  =  400.000 ke dalam persamaan ( 2 )
       2 x   +   2 y   =   1.300.000
       2 x   +   2 ( 400.000 )   =   1.300.000

       2 x   +   800.000    =   1.300.000
       2 x   =   1.300.000  -   800.000   
       2 x   =   500.000   
          x   =       
          x   =   250.000.
Diperoleh tarif sewa kamar tipe standar per hari adalah  = Rp  250.000  dan    tarif sewa kamar tipe superior per hari adalah =  Rp  400.000
Jika turis tersebut  memesan 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe superior
       3 (250.000)   +   1(400.000)  =   Rp 1.150.000
Tarif sewa kamar yang harus dibayar oleh turis tersebut sebesar Rp 1.150.000 per hari.
Jika mereka menginap selama 3 hari tarif sewa yang harus dibayar adalah 
       3 hari  x Rp 1.150.000 =  Rp 3.450.000.


Contoh 3
              Usia Lia sekarang seperlima usia Paman Banu 4 tahun yang akan datang.  Empat tahun yang lalu usia Lia sama dengan seperdelapan usia Paman Banu.Tentukan Usia mereka sekarang.

Pembahasan
Model matematika dari permasalahan diatas :
       misalkan   x = Usia Lia sekarang
                        y = Usia Paman Banu sekarang
Usia Lia sekarang seperlima usia Paman Banu 4 tahun yang akan datang, maka
       x  =   ( y  +  4 )
Empat tahun yang lalu usia Lia sama dengan seperdelapan usia Paman Banu, maka
       x  -  4  =   ( y  -  4 )

Dengan demikian diperoleh SPLDV :
       x  =   ( y  +  4 )
       x  =    +      Untuk menyederhanakan dikali dengan 5 sehingga persamaan menjadi
       5x  =  y  +  4
       5x  -  y  =  4  .................... (1)

15


       x  -  4  =   ( y  -  4 )
       x  -  4  =    -     Untuk menyederhanakan dikali dengan 8 sehingga persamaan menjadi
       8 x   -   32  =  y  -  4
       8 x   -   y  =  32  -  4
       8 x   -   y  =  28 .................... (2)

Eliminasi x  dari kedua persamaan
       5x    -   y  =  4 
       8 x   -   y  =  28  -
       - 3 x         =  - 24
            x         =      
           x         =   8

Substitusikan  x  =  8  ke dalam persamaan (1)
       5x    -   y  =  4 
       5(8)    -   y  =  4 
       40    -   y  =  4 
                   y  =  36.
Jadi Usia Lia sekarang adalah 8 tahun dan Usia paman Banu 36 tahun.







        











16


                       

BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN


1.       Kesimpulan
Dari penulisan makalah ini, didapatkan beberapa kesimpulan, yaitu :
       1.         Persamaan linear adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu. Sistem persaman linear yang melibatkan dua variabel yang berbeda dinamakan sistem persaman linear dua variabel (SPLDV. Ada empat metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persaman dua variabel, namun dari keempat metodel ini, hanya tiga metode yang paling sering digunakan yaitu metode substitusi, metode eliminasi dan metode gabungan eliminasi dan substitusi.

       2.         Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebenarnya adalah materi pelajaran matematika yang memiliki cakupan yang luas, selain sebagai mata pelajaran wajib yang harus disampaikan oleh Pendidik kepada peserta didiknya di sekolah, SPLDV juga merupakan mata pelajaran yang bisa diterapkan di dalam kehidupan sehari-hari, dan apabila kita jeli mengamati , maka tanpa kita sadari banyak permasalahan-permasalahan yang terjadi disekitar kita yang dapat kita selesaikan dengan menggunakan persamaan ini, baik ketika  kita berbelanja, menghitung biaya produksi, menentukan biaya pengeluaran dan banyak permasalahan lain dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan matriks.

2        Saran
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan makalah ini dan masih banyak permasalahan-permasalahan SPLDV yang belum tersampaikan. untuk itu perlu adanya kajian lebih lanjut tentang sistem persamaan linear dengan menggunakan tiga variabel SPLTV, karena Sistem persamaan linear tiga variabel akan memiliki kekomplekan dan variasi variabel yang lebih detail dan lebih lengkap dalam menganalisa permasalahan. Disamping itu saran dan kritik sangatlah diperlukan oleh penulis agar makalah ini dapat menjadi lebih baik lagi kedepannya.Dan semoga karya tulis ini dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca yang ingin mengkaji pengetahuannya mengenai sistem persamaan linear..






17




DAFTAR PUSTAKA




     1.    Muklis, Nur Aksin dan Suparno. 2014. Pegangan Guru Matematika Mata Pelajaran Wajib Penerbit PT Intan Pariwara
     2.    Tri Dewi Listya, Herawati. 2007. Matematika Untuk Kelas XII Seolah Menengah Atas Program Ilmu Pengetahuan Sosial dan Bahasa. Penerbit Grafindo Media Pratama
     3     Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2014. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI Semester 1 Penerbit Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.


















18

Tidak ada komentar:

Posting Komentar