PENGGUNAAN SISTEM
PERSAMAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV)
DALAM
KEHIDUPAN SEHARI – HARI
MAKALAH
MATEMATIKA
Diajukan
Untuk Memenuhi Persyaratan Kenaikan Pangkat
Disusun Oleh
Ir.AMIR
SUGIARTO
NIP.
196510062008011002
SEKOLAH
MENENGAH ATAS NEGERI 3 DUMAI
TAHUN 2017
PEMERINTAH KOTA DUMAI
DINAS PENDIDIKAN
SMA
NEGERI 3 DUMAI
Jl. Arif Rahman Hakim Bukit Nenas
Kec. Bukit Kapur Dumai
Telp. 082883700313 Kode Pos 28882
NPSN 10405038
EMAIL
: smatri_dumai@yahoo.co.id
 |
|||
 |
|||
SURAT
KETERANGAN
Nomor
:..............................................
Yang bertanda tangan dibawah
ini. Pengelola Perpustakaan SMA Negeri 3 Dumai :
Nama : SITI MARIANA SOSA,SPd
Jabatan : Kepala Perpustakaan SMA Negeri 3 Dumai
Unit Kerja : SMA Negeri 3 Dumai
Dengan ini menerangkan bahwa laporan karya ilmiah yang berjudul “Penggunaan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari “ yang ditulis oleh:
Nama : Ir.Amir Sugiarto
Nip : 196510062008011002
Pangkat/Gol.Ruang : Penata
Muda TK I / III b
Jabatan : Guru Bidang Study Matematika
Unit Kerja : SMA Negeri 3 Dumai
Benar
Laporan Karya Ilmiah tersebut telah disimpan di perpustakaan SMA Negeri 3
Dumai.
Demikian
surat keterangan ini dibuat untuk dapat dipergunakan sebagaimana mestinya.
Mengetahui Dumai,
Desember 2017
Kepala
Sekolah Pengelola
Perpustakaan
WISMAN, SPd SITI
MARIANA SOSA, SPd
NIP 19620612199103 1 012 NIP 19800217200502 2 003
IDENTITAS GURU
Nama : Ir. Amir Sugiarto
NIP / Nomor Seri Karpek : 19651006200801
1 002 / N 573703
Tempat , Tanggal Lahir : Bengkalis,
6 Oktober 1965
Jenis Kelamin : Laki – Laki
Pangkat/Gol Ruang/TMT : Penata
Muda TK I/IIIb/01 Oktober 2012
Jabatan Guru / TMT : Guru Muda / 01 Oktober 2008
Jenis Guru : Guru Mata Pelajaran Bidang Study Matematika
Tempat Tugas : SMA Negeri 3 Dumai
Alamat Sekolah : Jl.Arif Rahman Hakim Bukit Nenas Kec Bukit
Kapur, Dumai
Alamat Rumah : Jl.Jeruk No 42 Rimba Sekampung Kec Dumai
Kota, Dumai
LEMBAR PENGESAHAN
Nama Makalah : Penggunaan
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari
Nama Penulis : Ir.Amir
Sugiarto
Nip : 19651006200801 1 002
Unit Kerja : SMA
Negeri 3 Dumai
Disahkan
Oleh
Kepala
Sekolah
WISMAN,SPd
Nip 19620612199103 1 012
LAPORAN PERNYATAAN
Dibawa ini
saya menyatakan bahwa :
Nama : Ir.Amir
Sugiarto
Nip : 19651006200801
1 002
Unit Kerja : SMA Negeri
3 Dumai
Nama Publikasi : Makalah
Pendidikan
Judul Makalah : Pengunaan
Sistem Persaman Linear Dua Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari
Makalah
ini “Benar – Benar Asli Hasil Karya Saya” yang saya buat untuk kelancaran proses
pembelajaran dan bermanfaat bagi pembaca
Dumai, Desember 2017
Pembuat
Pernyataan,
Ir.Amir
Sugiarto
NIP 19651006200801 1 002
KATA PENGANTAR
Puji syukur
kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan
hidayahnya jua maka makalah ini dapat kami selesaikan dengan judul “ Pengunaan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel (SPLDV) Dalam Kehidupan Sehari – hari ” Pada makalah
ini kami banyak mengambil dari berbagai sumber dan refrensi dan pengarahan dari
berbagai pihak .oleh sebab itu, dalam kesempatan ini kami mengucapkan terima
kasih sebesar-sebesarnya kepada semua pihak yang telah banyak membantu dalam penyusunan makalah ini.
Penyusunan menyadari sepenuhnya
bahwa makalah ini sangat jauh dari sempurna, untuk itu kami sangat mengharapkan
kritik dan saran yang bersifat membangun guna kesempurnaan laporan ini.
Akhir kata
penyusun mengucapkan terima kasih dan semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk
semua pihak yang membaca…
Dumai, Desember 2017
Penyusun
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ................................................................................................ i
DAFTAR ISI ............................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
.......................................................................................... 1
2. Rumusan Masalah
..................................................................................... 1
3. Tujuan Penulisan
....................................................................................... 1
BAB II TINJAUAN
PUSTAKA
1 Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel ............................. 2
2. Metode –
metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Dua
Variabel (SPLDV) ............................................................................. 2
2.1 Metode Grafik
................................................................................. 2
2.2 Metode
Substitusi ............................................................................ 3
1.4 Metode Eliminasi ............................................................................. 4
2.4 Metode Gabungan Eliminasi
dan Substitusi ..................................... 5
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Penggunaann
Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel (SPLDV)
dalam
Kehidupan Sehari – hari .
1.1. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode
Substitusi .............. 7
1.2. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Eliminasi .............. 10
1.3. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode Gabungan
Eliminasi dan
Substitusi .................................................................. 13
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
1. Kesimpulan
............................................................................................... 17
2. Saran
.......................................................................................................... 17
DAFTAR
PUSTAKA
................................................................................................. 18
ii
BAB I
PENDAHULUAN
1.
Latar
Belakang
Banyak Permasalahan
sehari-hari yang dapat diselesaikan secara matematis. Caranya adalah dengan
menterjemahkan permasalahan tersebut ke dalam bahasa matematika, kemudian
menyelesaikannya. Misalnya untuk menentukan panjang penampang bagian atap
sebuah bangunan yang dibuat dengan
ukuran tertentu dan dengan syarat tertentu. Dengan memisalkan ukuran panjang
alas sebagai variabel. Model persamaan linear dua variabel dapat dibuat untuk
menyelesaikan permasalahan tersebut.
Matematika merupakan pelajaran yang
menantang kreatifitas untuk berpikir, menalar dan menganalisa, jika kita jeli,
permasalahan yang berada disekitar kitapun dapat dianalisa dan di ubah menjadi
sebuah model matematika dengan variasi variabel bebas dan variabel terikat yang
dapat kita tentukan.
Di SMA, disamping pokok bahasan matriks,
integral, peluang, statistik, barisan dan deret bilangan, limit dan lainnya, maka sistem persamaan linear juga
termasuk materi pokok yang harus kita kuasai. Banyak cara dan model yang kita
gunakan dalam menyelesaikan variabel yang ada pada sistem persamaan linear.
dari keseluruh model yang ada kita di tuntut untuk memilih dan menentukan mana
model atau cara yang paling mudah dan praktis dalam menyelesaikan setiap
soal-soal ataupun permasalahan yang kita hadapi.
2.
Rumusan Masalah
1. Menjelaskan
tentang pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).
2. Menjelaskan Metode
yang dapat digunakan untuk Menyelesaikan Sistem Persaman Linear Dua Variabel
(SPLDV)
3. Menjelaskan Penggunaan
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dalam Kehidupan Sehari – hari
beserta contoh..
3
Tujuan Penulisan
Penulisan
makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel (SPLDV) beserta
contoh- contoh penyelesaian masalah yang berkaitan
dalam kehidupan sehari-hari..
1
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
1.
Pengertian Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear didefinisikan
sebagai himpunan beberapa persamaan linear yang saling terkait, dengan
koefisien-koefisien persamaan adalah
bilangan real. Menurut Marthen Kanginan
, (2007), menyatakan sistem persamaan
linear dua variabel (SPLDV) adalah persamaan yang mengandung dua variabel
pangkat satu (x dan y) dan tidak mengandung perkalian antara kedua variabel
tersebut (tidak mengandung suku xy). Sistem persamaan linear dua variabel
biasanya terdiri atas dua persaman linear yang masing-masing mempunyai dua
variabel.
Menurut Muklis, Nur Aksin dan Suparno, (2014) : Persamaan linear adalah
persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu. Gabungan dua atau lebih
persamaan linear yang saling terkait disebut sistem persaman linear. Sistem
persaman linear yang melibatkan dua variabel yang berbeda dinamakan sistem
persaman linear dua variabel (SPLDV). Secara geometri sistem persamaan linear
dua variabel merupakan hubungan antara dua garis lurus , letak dua garis lurus
pada bidang ada tiga kemungkinan yaitu berpotongan, sejajar dan berimpit. Untuk
menggambar grafik persamaan linear dua variabel biasanya dicari titik potong
dengan sumbu x dan sumbu y, kemudian melalui kedua titik potong tersebut dibuat
suatu garis yang merupakan himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut.
Bentuk umum
sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut :
a1x + b1y
= c1 ........................... (1)
a2x + b2y
= c2 ........................... (2)
x dan y dinamakan variabel,
a1, a2, b1
dan b2 dinamakan koefisien sedangkan
c1 dan c2
dinamakan konstanta
2. Metode –
metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Ada 4
metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel
(SPLDV) yaitu :
2.1. Metode Grafik
Penyelesaian sistem persamaan
linear dua variabel dengan menggunakan metode grafik adalah titik potong kedua
garis dari persamaan linear penyusunnya. Ada tiga kemungkinan hubungan antara
dua buah garis lurus. Jika kedua garis berpotongan, berarti sistem persamaan
linear mempunyai satu penyelesaian, jika kedua garis sejajar, berarti sistem
persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian dan jika kedua garis berimpit,
berarti sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang tidak terhingga.
2
Contoh 1
Diketahui sistem persamaan linear
dua variabel sebagai berikut :
2x
+ y = 8
7x
- 2y = 6
Untuk menggambar garis dari kedua
persamaan cukup menentukan dua titik pada setiap persamaan, misalnya titik
potong garis dengan sumbu x dan sumbu y.
Untuk garis 2x
+ y = 8
|
x
|
4
|
0
|
|
y
|
0
|
8
|
Garis 2x + y = 8
memotong dengan sumbu x di titik ( 4 , 0 ) dan sumbu y di titik ( 0 , 8 )
Untuk garis 7x
- 2y =
6
|
x
|
0
|
2
|
|
y
|
-3
|
4
|
Garis 7x -
2y = 6
memotong dengan sumbu x di titik ( 0 , -3 ) dan sumbu y di titik ( 2 , 4 )
Dari keempat titik potong kita
gambarkan grafik sebagai berikut
y
11 7x -
2y = 6
8
4 ( 2 , 4 )
0 2
4 x
-3 2x + y = 8
Dari grafik terlihat garis 7x -
2y = 6 dan 2x
+ y = 8
berpotongan di titik (2 , 4). Jadi himpunan penyelesaian dari persamaan
tersebut adalah (2 , 4).
2.2 Metode Substitusi
Dalam metode substitusi, suatu
variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari SPLDV tersebut. Selanjutnya
variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan
lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.
Langkah –
langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah :
a. Salah
satu persamaan dinyatakan menjadi y =
ax + b
atau x =
cy + d
b. Substitusikan
y atau
x (dari langkah 1) ke persamaan
lain.
3
c. Selesaikan
persamaan tersebut hingga diperoleh nilai x
atau y.
d. Substitusikan
nilai x
yang diperoleh sehingga diperoleh nilai
y atau sebaliknya.
e. Nyatakan
himpunan penyelesaiannnya dari nilai x
dan nilai y telah diketahui..
Contoh 1
Diketahui sistem persamaan linear
dua variabel sebagai berikut :
2x
+ y = 8
7x
- 2y = 6
Dari kedua persamaan tersebut kita
ambil salah satu yaitu :
2x
+ y = 8
y = -2x
+ 8
Substitusikan y
= -2x + 8 ke
dalam 7x
- 2y = 6
sehingga kita peroleh persamaan
7x
- 2 (-2x +
8) = 6
7x
+ 4x -
16 = 6
7x
+ 4x =
6 + 16
11x
= 22
x
= 
x
= 2
Substitusikan x = 2
kedalam persamaan 2x + y = 8 .
2x
+ y = 8
2(2) +
y = 8
4 + y
= 8
y
= 8 - 4
y
= 4
Jadi
himpunan penyelesaiannya adalah ( 2
, 4 )
2.3 Metode Eliminasi
Dalam
metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasi/dihilangkan untuk mendapatkan
nilai variabel yang lain dalam sistem persamaan linear dua variabel
tersebut.Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien
variabel x atau y yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan
atau dikurangkan sehingga dperoleh nilai
x atau y.
Contoh 1
Diketahui sistem persamaan linear
dua variabel sebagai berikut :
2x
+ y = 8
7x
- 2y = 6
Dengan
metode eliminasi ini kita upayakan untuk menyamakan koefisien variabel x dan y,
sebagai berikut:
4
Eliminasi y dari SPLDV
2x +
y = 8 x
2 4x
+ 2y = 16
7x -
2y = 6 x
1 7x
- 2y =
6 +
11x =
22
x =
x
= 2
Eliminasi x dari SPLDV
2x +
y = 8 x
7 14x
+ 7y = 56 7x -
2y = 6 x
2 14x
- 4y =
12 -
11y = 44
y = 
y
= 4
Jadi
himpunan penyelesaiannya ( 2 , 4)
2.3 Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi.
Dalam metode
ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi,
selanjutnya nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga
diperoleh nilai variabel lainnya.
Contoh 1
Diketahui sistem persamaan linear
dua variabel sebagai berikut :
2x
+ y = 8
......................................
(1)
7x
- 2y = 6
......................................
(2)
Dari
persamaan tersebut kita bisa memilih salah satu dari variabel x atau y yang
akan kita eliminasi Misalnya kita akan mengeliminasi variabel y, maka akan kita
peroleh persamaan sebagai berikut :
Eliminasi y dari SPLDV
2x +
y = 8 x
2 4x
+ 2y = 16 7x -
2y = 6 x
1 7x
- 2y =
6 +
11x =
22
x = 
x
= 2
5
Setelah kita
peroleh nilai variabel x, maka nilai variabel ini selanjutnya kita
substitusikan kesalah satu persamaan (1)
2x + y
= 8
2 (2) +
y = 8
4 + y
= 8
y
= 8 - 4
y
= 4
atau kita
substitusikan kepersamaan (2)
7x
- 2y =
6
7 (2) -
2y = 6
14 - 2y
= 6
-
2y = 6
- 14
-
2y = -8
y
= 4
Maka
himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah ( 2 , 4 )
6
BAB III
PEMBAHASAN
1. Penggunaann
Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel (SPLDV) dalam Kehidupan Sehari – hari .
Dari
ke empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dua variabel (SPLDV). Menurut Marthen Kanginan, (2007 ; 162) mengatakan
bahwa metode grafik kadang-kadang hanya memberikan penyelesaian yang berupa
taksiran bukan penyelesaian yang
bersifat eksak yang artinya himpunan penyelesaiannya bisa mempunyai satu
penyelesaian, tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai tak terhingga banyak
penyelesaian.
Dalam
Makalah ini pembahasan lebih ditekankan pada penggunaan sistem persamaan linear
dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi dan
gabungan eliminasi dan substitusi.
1.1. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode
Substitusi.
Pada
umumnya berbelanja adalah rutinitas yang sering kita lakukan, baik itu membeli peralatan
elektronik, membeli pakaian, membeli bahan-bahan untuk kebutuhan sehari-hari
dan juga membeli bahan-bahan baku untuk diolah menjadi bahan jadi yang siap
untuk dipasarkan. Berikut adalah contoh kegiatan sehari-hari yang dapat kita selesaikan
dengan menerapkan penggunaan materi pelajaran sistem persaman linear dua
variabel.
Contoh 1 :
Ani, Ari dan Fitri berbelanja di sebuah toko yang menjual bermacam-macam buah – buahan
segar. Ani membeli 2 kg jeruk dan 4 kg apel dengan harga Rp 100.000, Ari
membeli 5 kg jeruk dan 1 kg apel dengan harga Rp 70.000, Jika Fitri membeli 3
kg jeruk dan 4 kg apel . Berapa rupiah yang harus dibayar Fitri.
Pembahasan.
Permasalahan diatas adalah kejadian yang
sering kita alami, Transaksi jual beli yang bisa saja terjadi dimana saja baik
itu di toko, di pasar ,supermarket dll
Untuk
menyelesaikannya, permasalahan tersebut terlebih dahulu kita terjemahkan kedalam
kalimat matematika (model matematika), kemudian kita selesaikan dengan
menggunakan SPLDV dengan metode Substitusi.
Model
matematika .
Misal
harga 1 kg jeruk = x
harga 1 kg apel = y
7
akan kita
peroleh bentuk persamaan sebagai berikut :
2x
+ 4y =
100.000 .........................(1)
5x
+ y =
70.000
.........................(2)
Dari kedua
bentuk persamaan, kita ambil persamaan 2 yaitu
5x +
y = 70.000
y = - 5x +
70.000
Substitusikan persamaan y = -5x +
70.000 ke dalam persamaan 2x
+ 4y =
100.000 sehingga kita peroleh persamaan :
2x
+ 4y =
100.000
2x
+ 4( -5x +
70.000 ) = 100.000
2x
- 20x + 280.000
= 100.000
2x
- 20x = 100.000 -280.000
-18 x = - 180.000
x = 
x =
10.000
substitusikan x = 10.000 ke
persamaan
y = -5x +
70.000
y
= -5 (10.000) + 70.000
y
= -50.000 + 70.000
y
= 20.000.
Dari perhitungan diatas kita peroleh
harga masing-masing buah yaitu :
1 kg jeruk harganya Rp 10.000
1 kg apel harganya
Rp 20.000
Jika Fitri membeli 3 kg jeruk dan 4
kg apel jumlah uang yang harus di bayar adalah
3x + 4y = .............
3
(10.000) + 4 (20.000) =
30.000
+ 80.000 = 110.000
Jumlah uang yang harus dibayar Fitri
jika ia membeli 3 kg jeruk dan 4 kg apel adalah Rp 110.000.
Contoh 2 :
di toko “Dorina” yang banyak
menjual bermacam-macam kue Wati
membeli 4 donat dan 2 coklat seharga Rp 17.000. Di tempat yang sama Tari
membeli 2 donat dan 4 coklat dengan harga Rp 16.000. Jika Andi membeli sebuah
donat dan sebuah coklat kemudian menuju kekasir dan membayar Rp 10..000. Jumlah
uang pengembalian yang diterima andi adalah...
Pembahasan.
Model
matematika .
Misal
harga donat = x
harga coklat = y
8
4 x
+ 2 y =
17.000 .................. (1)
` 2
x +
4 y = 16.000 disederhanakan menjadi
x
+ 2 y =
8.000 .................. (2)
x
= -2 y + 8.000
4
x +
2 y = 17.000
4
(- 2 y + 8.000) + 2
y =
17.000
-
8 y +
32.000 + 2 y
= 17.000
-
8 y +
2 y = 17.000
- 32.000
-
6 y =
- 15.000
y
= 
y =
2.500
4 x + 2
y =
17.000
4 x + 2
(2.500) = 17.000
4 x +
5.000 = 17.000
4 x =
17.000 - 5.000
4 x =
12.000
x
= 
x
= 3.000.
Dari hasil
perhitungan diperoleh harga sebuah donat Rp 3.000, dan harga sebuah coklat Rp 2.500. Jika Andi membeli sebuah donat dan
sebuah coklat dengan memberikan uang Rp 10.000.
10.000 -
(2.500 + 3.000)
10.000 -
5.500 = 4.500
maka uang
pengembalian yang akan diterima Andi adalah Rp 4.500.
Contoh 3 :
Harga 3 buah buku dan 2 penggaris
Rp 9.000, Jika harga sebuah buku
Rp 500 lebih mahal dari harga sebuah penggaris. Harga sebuah buku dan 3
buah penggaris adalah..
Pembahasan.
Model matematika
.
Misal
harga buku = x
harga penggaris = y
Harga 3 buah
buku dan 2 penggaris Rp 9.000.
3 x + 2
y =
9.000 ............ (1)
Jika harga
sebuah buku Rp 500 lebih mahal dari
harga sebuah penggaris
x
= 500 +
y ............ (2)
9
Dari kedua
persamaan tersebut kita substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) .
3 x + 2
y =
9.000
3 (500 +
y) + 2 y
= 9.000
1.500 + 3
y +
2 y = 9.000
3 y + 2
y =
9.000 - 1.5000
5 y =
7.500
y
= 1.500
Kita peroleh
nilai y yang mewakili harga penggaris sebesar Rp 1.5000
Substitusikan
nilai x ke dalam persamaan x =
500 + y
x =
500 + 1.5000
x = 2.000
Kita peroleh
harga x yang mewakili harga buku sebesar
Rp 2.000
maka harga
sebuah buku dan 3 buah penggaris ..
x + 3
y = ....
2.000 + 3
( 1.500)
2.000 +
4.500
6.500
1.2. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode
Eliminasi.
Transaksi
jual beli yang terjadi biasanya selalu melibatkan dua objeks yaitu pembeli yang
disebut sebagai konsumen dan penjual
yang disebut produsen, untuk mengetahui
arus perputaran barang dagangan, maka seorang pedagang / penjual sangat perlu
mengetahui bahkan mencatat berapa jumlah barang dagangannya yang telah
terjual dan berapa jumlah uang yang
telah diterima dari seluruh barang yang telah terjual. Dari catatan inilah
pedagang tersebut dapat menentukan apakah kegiatan jual beli yang dilakukan
memberikan keuntungan atau sebaliknya. Berikut ini adalah catatan seorang
pedagang dari kegiatannya menjual buah-buahan serta beberapa contoh
permasalahan yang dapat diselesaikan dengan SPLDV dengan menggunakan metode
Eliminasi.
Contoh 1.
Selama seminggu seorang pedagang buah-buahan mampu menjual semangka dan
pepaya secara bersamaan sebanyak 275 kg. Harga semangka Rp 4.000 per kilogram,
sedangkan harga pepaya Rp 5.000 per kilogram. Jika hasil penjualan buah semangka
dan buah pepaya tersebut selama seminggu adalah Rp 1.230.000. Banyaknya semangka
dan pepaya yang terjual dalam minggu itu adalah ...
Pembahasan.
Model
matematika .
Misal
x = banyaknya semangka
y = banyaknya pepaya
10
Jumlah semangka dan pepaya yang terjual
selama seminggu adalah 275 kg. maka persamaan dapat kita susun menjadi :
x +
y = 275 ...................... ( 1 )
Hasil penjualan semangka dan pepaya
selama seminggu adalah Rp 1.230.000,
4.000
x +
5.000 y = 1.230.000. ...................... ( 2 )
Untuk menyederhanakan bilangan pada
hasil penjualan semangka dan pepaya, maka seluruh koefisien pada persamaan
2 kita bagi dengan 1.000, sehingga
bentuk sederhana dari persamaan 2 menjadi :
4
x +
5 y = 1.230
Dari kedua persamaan yaitu persamaan
1 dan persamaan 2 yang telah disederhanakan, kita eliminasi dengan cara
menyamakan kedua nilai koefisien variabel
Eliminasi y.
x
+ y =
275 x 5 5 x
+ 5 y =
1375
4
x +
5 y = 1.230
x 1 4 x + 5
y =
1230 -
x = 145
Eliminasi x.
x
+ y =
275 x 4 4 x
+ 4 y =
1100 4
x +
5 y = 1.230
x 1 4 x + 5 y
= 1230 -
- y = -
130
y = 130
Jadi banyaknya semangka yang terjual selama seminggu
adalah 145 kg dan banyaknya pepaya yang terjual 130 kg.
Contoh 2.
Sebuah toko kue mempunyai dua orang pekerja. Pekerja pertama sedikitnya
dapat membungkus 50 kue perjam dan pekerja kedua dapat membungkus 60 kue
perjam. Jika pada suatu hari kedua pekerja bekerja selama 8 jam dan kue yang
dapat di bungkus sebanyak 435 buah.Berapa jumlah kue yang dapat dibungkus oleh
pekerja pertama dan pekerja kedua
Pembahasan.
Model
matematika .
Misal
x = jam kerja pekerja pertama
y = jam kerja pekerja kedua
Jumlah jam kerja pekerja pertama dan
pekerja kedua = 8 jam, maka
x
+ y = 8
Jumlah kue yang dapat dibungkus = 435 buah, maka
50 x
+ 60 y =
435.
11
Dengan demikian diperoleh SPLDV
x
+ y =
8 ................ (1)
50 x + 60
y =
435 ..........(2)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan
(2)
x
+ y =
8 x 50
50 x + 50 y
= 400
50
x +
60 y = 435
x 1 50 x
+ 60 y =
435 -
- 10 y = -
35
y = 3,5
Eliminasi
y dari persamaan (1) dan
(2)
x
+ y
= 8 x
60 60 x + 60
y =
480 50
x +
60 y = 435
x 1 50 x
+ 60 y =
435 -
10 x = 45
x = 4,5
Dari hasil penyelesaian diperoleh x = 4,5 dan
y = 3,5 .
Pekerja Pertama bekerja selama 4,5 jam . Jadi kue yang
dapat di bungkus oleh pekerja pertama adalah
4,5
jam x
50 bungkus = 225 bungkus
Pekerja Kedua
bekerja selama 3,5 jam . Jadi kue yang dapat di bungkus oleh pekerja
Kedua adalah
3,5
jam x
60 bungkus = 210 bungkus
Contoh 3
Budi adalah seorang pelajar
disalah satu sekolah yang berada di kota Dumai. Ia duduk di kelas X Sos yang terdiri atas 40 orang siswa. Pada suatu
hari wali kelas Budi ingin mengetahui jumlah seluruh siswa berdasarkan jenis
kelamin. Jika dalam kelas tersebut, dua kali banyak siswa laki-laki sama dengan
banyak siswa perempuan di tambah 14. Berapa jumlah siswa laki-laki dan jumlah
siswa perempuan di lokal Budi...
Pembahasan
Model
matematika dari permasalahan diatas :
misalkan x
= banyak siswa laki-laki
y = banyak siswa
perempuan
Jumlah siswa
di lokal = 40 orang,maka
x
+ y = 40
.................. (1)
dua kali
banyak siswa laki-laki sama dengan banyak siswa perempuan di tambah 14, maka
2 x
= y + 14 atau
2 x
- y = 14
.................. (2)
Eliminasi x dari persamaan (1) dan
(2)
x
+ y =
40 x
2 2 x + 2
y =
80 2 x
- y =
14 x
1 2 x -
y = 14
-
3 y = 66
y = 22
12
Eliminasi y dari persamaan (1) dan
(2)
x
+ y =
40
2 x
- y =
14 +
3 x =
54
x = 
x = 18
Dari hasil penyelesaian diperoleh jumlah siswa laki –
laki adalah 18 orang dan jumlah siswa perempuan 22 orang
1.3. Penyelesaian Dengan Menggunakan Metode
Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Dari
keseluruhan metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
dua variabel (SPLDV) , metode gabungan merupakan metode yang paling banyak
digunakan, banyak masalah yang dapat di selesaikan dengan menggunakan metode
ini, baik itu kegiatan saat berbelanja, saat kita mengunjungi objek wisata,
menghitung besarnya pendapatan, menaksir usia dan banyak permasalahan lain
dalam kehidupan sehari-hari yang juga dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode ini.
Berikut
ini adalah beberapa contoh permasalahan yang sering kita temui dalam kehidupan
sehari-hari.
Contoh 1
Harga tiket masuk sebuah waterboom Rp 30.000 untuk orang dewasa dan Rp
20.000 untuk anak – anak. Pada suatu
hari diperoleh hasil penjualan tiket Rp 640.000. Jika jumlah tiket yang
terjual 27 lembar. Banyak pengunjung
dewasa dan anak-anak pada hari itu adalah...
Pembahasan
Model
matematika dari permasalahan diatas :
misalkan x
= banyak tiket dewasa yang terjual
y = banyak tiket
anak-anakyang terjual
hasil penjualan tiket = Rp 640.000 maka
30.000 x +
20.000 y = 640.000 . untuk menyederhanakannya maka
seluruh koefisien dibagi dengan 10.000 sehingga persamaan menjadi
3 x + 2
y = 64
.................. (1)
Jumlah tiket yang terjual 27 lembar, maka
x
+ y
= 27 .................. (2)
13
Eliminasi y
3
x +
2 y = 64 x
1 3 x
+ 2 y = 64
x
+ y =
27 x 2 2 x
+ 2 y = 54
x = 10
Substitusikan x = 10
ke dalam persamaan 2
x +
y = 27
10 +
y = 27
y = 27
- 10
y
= 17
Jadi pada hari itu banyaknya
pengunjung dewasa adalah 10 orang dan banyaknya pengunjung anak-anak 17 orang.
Contoh 2
Pak Budi adalah seorang pengusaha perhotelan yang menyediakan dua tipe
kamar yaitu tipe standar dan tipe superior. tarif sewa 2 kamar tipe standar dan
5 kamar tipe superior adalah Rp
2.500.000 per hari. tarif sewa 2 kamar tipe standar dan 2 kamar tipe superior
adalah Rp 1.300.000 per hari. Pada suatu hari serombongan turis berkunjung ke hotel pak
budi dan memesan 4 kamar yaitu 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe superior.
Berapa tarif sewa yang harus dibayar oleh turis tersebut jika mereka menginap
selama 3 hari.
Pembahasan
Model
matematika dari permasalahan diatas :
misalkan x
= tarif sewa satu kamar tipe standar
y = tarif sewa satu
kamar tipe superior
tarif sewa 2
kamar tipe standar dan 5 kamar tipe superior adalah Rp 2.500.000
per hari, maka
2
x +
5 x = 2.500.000
tarif sewa 2 kamar tipe standar dan
2 kamar tipe superior adalah Rp
1.300.000 per hari, maka
2
x +
2 y = 1.300.000
Dengan demikian diperoleh persamaan
2
x +
5 x = 2.500.000 ................... ( 1 )
2
x +
2 y = 1.300.000 ................... ( 2 )
Eliminasi x dari persamaan ( 1
) dan ( 2 )
2
x +
5 x = 2.500.000
2
x +
2 y = 1.300.000
-
3 y
= 1.200.000
y = 
y =
400.000
14
Substitusikan y =
400.000 ke dalam persamaan ( 2 )
2
x +
2 y = 1.300.000
2
x +
2 ( 400.000 ) = 1.300.000
2
x +
800.000 = 1.300.000
2
x =
1.300.000 - 800.000
2
x =
500.000
x
= 
x
= 250.000.
Diperoleh tarif sewa kamar tipe
standar per hari adalah = Rp 250.000
dan tarif sewa kamar tipe superior
per hari adalah = Rp 400.000
Jika turis tersebut memesan 3 kamar tipe standar dan 1 kamar tipe
superior
3
(250.000) + 1(400.000) = Rp 1.150.000
Tarif sewa kamar yang harus dibayar
oleh turis tersebut sebesar Rp 1.150.000 per hari.
Jika mereka menginap selama 3 hari
tarif sewa yang harus dibayar adalah
3
hari x Rp 1.150.000 = Rp 3.450.000.
Contoh 3
Usia Lia sekarang seperlima usia Paman Banu 4 tahun yang akan
datang. Empat tahun yang lalu usia Lia
sama dengan seperdelapan usia Paman Banu.Tentukan Usia mereka sekarang.
Pembahasan
Model
matematika dari permasalahan diatas :
misalkan x
= Usia Lia sekarang
y = Usia Paman Banu
sekarang
Usia Lia
sekarang seperlima usia Paman Banu 4 tahun yang akan datang, maka
x
= 
( y + 4 )
( y + 4 )
Empat tahun
yang lalu usia Lia sama dengan seperdelapan usia Paman Banu, maka
x
- 4 = 
( y
- 4 )
( y
- 4 )
Dengan
demikian diperoleh SPLDV :
x
= ( y
+ 4 )
( y
+ 4 )
x
= 
+ 
Untuk menyederhanakan dikali dengan 5 sehingga persamaan menjadi
+
Untuk menyederhanakan dikali dengan 5 sehingga persamaan menjadi
5x
= y + 4
5x
- y =
4 .................... (1)
15
x
- 4 = ( y
- 4 )
( y
- 4 )
x
- 4 = 
- 
Untuk menyederhanakan dikali dengan 8 sehingga persamaan menjadi
-
Untuk menyederhanakan dikali dengan 8 sehingga persamaan menjadi
8 x
- 32 = y - 4
8 x
- y = 32 - 4
8 x
- y = 28 .................... (2)
Eliminasi
x dari kedua persamaan
5x
- y =
4
8
x -
y = 28
-
- 3 x =
- 24
x = 
x = 8
Substitusikan x
= 8 ke dalam persamaan (1)
5x
- y =
4
5(8)
- y =
4
40
- y =
4
y = 36.
Jadi Usia
Lia sekarang adalah 8 tahun dan Usia paman Banu 36 tahun.
16
BAB IV
KESIMPULAN
DAN SARAN
1. Kesimpulan
Dari penulisan makalah ini, didapatkan beberapa kesimpulan, yaitu :
1. Persamaan
linear adalah persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya satu. Sistem
persaman linear yang melibatkan dua variabel yang berbeda dinamakan sistem
persaman linear dua variabel (SPLDV. Ada empat metode yang dapat digunakan
dalam menyelesaikan sistem persaman dua variabel, namun dari keempat metodel
ini, hanya tiga metode yang paling sering digunakan yaitu metode substitusi,
metode eliminasi dan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
2. Sistem
persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebenarnya adalah materi pelajaran
matematika yang memiliki cakupan yang luas, selain sebagai mata pelajaran wajib
yang harus disampaikan oleh Pendidik kepada peserta didiknya di sekolah, SPLDV juga
merupakan mata pelajaran yang bisa diterapkan di dalam kehidupan sehari-hari,
dan apabila kita jeli mengamati , maka tanpa kita sadari banyak
permasalahan-permasalahan yang terjadi disekitar kita yang dapat kita
selesaikan dengan menggunakan persamaan ini, baik ketika kita berbelanja, menghitung biaya produksi, menentukan
biaya pengeluaran dan banyak permasalahan lain dalam kehidupan sehari-hari yang
dapat diselesaikan dengan matriks.
2 Saran
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam
penulisan makalah ini dan masih banyak permasalahan-permasalahan SPLDV yang
belum tersampaikan. untuk itu perlu adanya kajian lebih lanjut tentang sistem
persamaan linear dengan menggunakan tiga variabel SPLTV, karena Sistem
persamaan linear tiga variabel akan memiliki kekomplekan dan variasi variabel
yang lebih detail dan lebih lengkap dalam menganalisa permasalahan. Disamping
itu saran dan kritik sangatlah diperlukan oleh penulis agar makalah ini dapat
menjadi lebih baik lagi kedepannya.Dan semoga karya tulis ini dapat bermanfaat bagi seluruh pembaca yang
ingin mengkaji pengetahuannya mengenai sistem
persamaan linear..
17
DAFTAR PUSTAKA
1. Muklis, Nur Aksin dan
Suparno. 2014. Pegangan Guru Matematika Mata Pelajaran Wajib Penerbit PT Intan
Pariwara
2. Tri Dewi Listya,
Herawati. 2007. Matematika Untuk Kelas XII Seolah Menengah Atas Program Ilmu
Pengetahuan Sosial dan Bahasa. Penerbit Grafindo Media Pratama
3 Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2014. Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Kelas XI Semester 1 Penerbit Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang,
Kemdikbud.
18
